Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据sinB的值不为0，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由a及cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，最后由bc的最大值及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：解：（1）利用正弦定理==化简已知的等式得：
sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
∵B为三角形的内角，即sinB≠0，
∴cosA=，又A为三角形的内角，
则A=；
（2）∵a=3，cosA=，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：9=b²+c²-bc≥2bc-bc，
∴bc≤9，
∴S_△ABC=bcsinA≤，
则△ABC面积S的最大值为．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．