题目内容
已知两个正数a、b．则| a+b |
| 2 |
|
| a+b+c |
| 3 |
|
分析：本题考查的知识点是类比推理，在两个正数的不等式推理n个正数的关系式时，我们一般的思路有：由两个数算术平均数类比推理为n个正数算术平均数，由两个数平方的平均数类比推理为n个正数数平方的平均数，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比上述性质，得到
≤
，最后利用数学归纳法证明．
| a 1+a 2+…+a n |
| n |
|
解答：解：对于两个正数a、b．则
≤
．
左式是两个正数的算术平均数，右式是两个数平方的平均数的平方根，
对于三个正数a、b有类似的不等式，
在类比写出n个正数的关系式时，有：
对于n个正数a1、a2，…an．则
≤
．
欲证：
≤
．
只须证明：（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）
证：①当n=1时显然成立；
②假设当n=k时成立，即（a1+a2+…+ak）2≤k（a12+a22+…+ak2）
当n=k+1时，：（a1+a2+…+ak+1）2≤（a1+a2+…+ak+ak+1）2=（a1+a2+…+ak）2+2ak+1（a1+a2+…+ak）+ak+12
≤k（a12+a22+…+ak2）+2a1a k+1+2a2ak+1+…+2aka k+1+ak+12
≤k（a12+a22+…+ak2）+a12+a k+12+a22+ak+12+…+ak2+a k+12+ak+12
≤（k+1）（a12+a22+…+ak2），
即当n=k+1时也成立，
∴n个正数的关系式：
≤
成立．
| a+b |
| 2 |
|
左式是两个正数的算术平均数，右式是两个数平方的平均数的平方根，
对于三个正数a、b有类似的不等式，
在类比写出n个正数的关系式时，有：
对于n个正数a1、a2，…an．则
| a 1+a 2+…+a n |
| n |
|
欲证：
| a 1+a 2+…+a n |
| n |
|
只须证明：（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）
证：①当n=1时显然成立；
②假设当n=k时成立，即（a1+a2+…+ak）2≤k（a12+a22+…+ak2）
当n=k+1时，：（a1+a2+…+ak+1）2≤（a1+a2+…+ak+ak+1）2=（a1+a2+…+ak）2+2ak+1（a1+a2+…+ak）+ak+12
≤k（a12+a22+…+ak2）+2a1a k+1+2a2ak+1+…+2aka k+1+ak+12
≤k（a12+a22+…+ak2）+a12+a k+12+a22+ak+12+…+ak2+a k+12+ak+12
≤（k+1）（a12+a22+…+ak2），
即当n=k+1时也成立，
∴n个正数的关系式：
| a 1+a 2+…+a n |
| n |
|
点评：本小题是一道类比推理问题，主要考查创新思维能力．事实上，不等式中的不少定理、结论都可以类比推广到n个正数中去，值得我们进一步去探索和研究．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
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