Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上点P到点Q（0，$\frac{3}{2}$）的最大距离为$\sqrt{7}$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求此椭圆方程；
（2）若M、N为椭圆上关于原点的对称的两点，A为椭圆上异于M、N的一点，且AM、AN都不垂直于x轴，求k_AM•k_AN．

Answer 1

分析 （1）通过e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可知c²=$\frac{3}{4}$a²、a=2b，从而方程可表示为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，通过设P（x，y），利用两点间距离公式可知|PQ|²=-3$（y+\frac{1}{2}）^{2}$+4b²+3，进而通过4b²+3=（$\sqrt{7}$）²可知b²=1，整理即得结论；
（2）通过设M（x，y）、N（-x，-y）、A（p，q），利用x²+4y²=4与p²+4q²=4作差、整理得$\frac{{y}^{2}-{q}^{2}}{{x}^{2}-{p}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，进而利用斜率计算公式可得结论．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c²=$\frac{3}{4}$a²，
∴b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，即a=2b，
∴椭圆方程可表示为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
设P（x，y），则x²=4（b²-y²），
∴|PQ|²=$（x-0）^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}$
=${x}^{2}+{y}^{2}-3y+\frac{9}{4}$
=$4{b}^{2}-3{y}^{2}-3y+\frac{9}{4}$
=-3$（y+\frac{1}{2}）^{2}$+4b²+3，
∵当y=-$\frac{1}{2}$时，|PQ|²取到最大值4b²+3，
∴4b²+3=（$\sqrt{7}$）²，即b²=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）依题意，设M（x，y），N（-x，-y），A（p，q），
则x²+4y²=4，p²+4q²=4，
两式相减得：x²-p²+4（y²-q²）=0，
∴$\frac{{y}^{2}-{q}^{2}}{{x}^{2}-{p}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
又∵k_AM=$\frac{y-q}{x-p}$，k_AN=$\frac{-y-q}{-x-p}$=$\frac{y+q}{x+p}$，
∴k_AM•k_AN=$\frac{y-q}{x-p}$•$\frac{y+q}{x+p}$=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．