Question

设a，b∈[0，1]，则S(a，b)=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)的最小值为（　　）

• A、

  12-5 3

  2

• B、

  12-5 5

  2

• C、

  13-5 5

  2

• D、1

Answer 1

分析：通过构造函数f(x)=

x2(1-x)

1+x

，利用导数的方法求函数的最值，从而求出S的最小值．

解答：解：因为S=

a

1+b

+

b

1+a

+(1-a)(1-b)=

1+a+b+a2b2

(1+a)(1+b)

=1-

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

≤1，
当ab=0或ab=1时等号成立，
所以S的最大值为1．
令T=

ab(1-ab)

(1+a)(1+b)

，x=

ab

，
则T=

ab(1-ab)

1+a+b+ab

≤

ab(1-ab)

1+2 ab +ab

=

x2(1-x2)

(1+x)2

=

x2(1-x)

1+x

．
设f(x)=

x2(1-x)

1+x

，
∴f′(x)=

2x(1-x-x2)

(1+x)2

，
∴f′(x)=

2x(1-x-x2)

(1+x)2

=0，
则x=0，x=

5 -1

2

，x=-

5 +1

2

∴f（x）在(0，

5 -1

2

)上是增函数，在(

5 -1

2

，+∞)上是减函数，
x=a=b=

5 -1

2

时，
所以f（x）有最大值

5 5 -11

2

，S的最小值为

13-5 5

2

，
故选C．

点评：本题通过换元，构建函数，利用导数法求函数的最值，应注意这种思想方法在解题中的应用