Question

已知函数y=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可将y=f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x转化为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，从而可求f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，利用正弦函数的性质可求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．

解答：解：（1）∵y=（sinx+cosx）²+2cos²x
=1+sin2x+1+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最小值2-

2

．
即f（x）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ-

3π

8

（k∈Z）}．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，考查运算能力，属于中档题．