Question

设椭圆的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点。
（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞。

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀），
∴①
∴椭圆的左右顶点分别为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴，
∵直线AP与BP的斜率之积为，
∴
代入①并整理得
∵y₀≠0，
∴a²=2b²
∴
∴
∴椭圆的离心率为；
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x₀，kx₀），
∴
∵a＞b＞0，kx₀≠0，
∴
∴②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴
∴
∴代入②得
∴k²＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞。