Question

已知方程|4x+

9

x

-12|=m（m＞0，m∈R）只有两个不等的实数根，则m的取值范围是

（0，24）

．

Answer 1

分析：分x＞0和x＜0两种情况化简函数y=|4x+

9

x

-12|的解析式，由题意可得，函数y=|4x+

9

x

-12|的图象和直线y=m（m＞0，m∈R）有2个交点，数形结合得出结论．

解答：解：由于函数y=|4x+

9

x

-12|的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，由于4x+

9

x

≥12，当且仅当x=

3

2

时等号成立，
故函数y=|4x+

9

x

-12|=4x+

9

x

-12，它在（0，

3

2

）上是减函数，在（

3

2

，+∞）上是增函数．
当x＜0时，由于 -4x+

9

-x

≥12，∴4x+

9

x

≤-12，当且仅当x=-

3

2

时等号成立，故函数y=|4x+

9

x

-12|=-4x-

9

x

+12≥24．
且函数y=-4x-

9

x

+12在（-∞，-

3

2

）上是减函数，在（-

3

2

，0）上是增函数．
由题意可得，函数y=|4x+

9

x

-12|的图象和直线y=m（m＞0，m∈R）有2个交点，如图所示：
故 0＜m＜24，故m的取值范围是（0，24），
故答案为 （0，24）．

点评：本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的图象和性质的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题．