题目内容

已知函数 $数学公式$ 的最小正周期为3π，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

解：（1）已知函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）-1 的最小正周期为3π，
∴ $\text{[math]}$ =3π，ω= $\text{[math]}$ ，∴f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-1．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数f（x）的单调递增区间为[3kπ-π，3kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）在△ABC中，由f（C）=2sin（ $\text{[math]}$ C+ $\text{[math]}$ ）-1=1，可得sin（ $\text{[math]}$ C+ $\text{[math]}$ ）=1，∴C= $\text{[math]}$ ，A+B= $\text{[math]}$ ．
再由2sin²B=cosB+cos（A-C），可得 2sin²B=cosB+cos（A- $\text{[math]}$ ）=cosB+sinA=2sinA，∴2cos²A=2sinA，即 1-sin²A=sinA．
解得 sinA= $\text{[math]}$ ，再由A为锐角可得sinA= $\text{[math]}$ ．
综上可得，C= $\text{[math]}$ ，sinA= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）-1，根据周期求得ω的值，可得f（x）的解析式2sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-1，令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，由f（C）=1求得sin（ $\text{[math]}$ C+ $\text{[math]}$ ）=1，可得 C= $\text{[math]}$ ，A+B= $\text{[math]}$ ．再由2sin²B=cosB+cos（A-C）和同角三角函数的基本关系、诱导公式求得sinA的值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性和周期性，同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于中档题．