Question

【题目】已知函数有两个极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）求导化简得到，设，画出函数图像得到答案.

（2）构造函数，证明函数单调递增，得到，代入化简得到答案.

（3）根据题意，，两式相除得到：，计算，，设，证明，得到答案.

（1），，即，

设，则，

函数在上单调递增，在上单调递减，，画出函数图像，如图所示：

根据图像知.

（2）的两个根为，构造函数，

则，

当时，；当时，，故函数单调递增，且.

，即，即，

，，当时，函数单调递增，

故，即.

（3）根据题意，，两式相除得到：，

设，，故，解得，，

故，要证，即证，即.

设，则，

设，则，且，故恒成立.

故单调递减，故恒成立，得证.