题目内容

中心在原点，一个焦点为F1（0，
50
）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为
1
2
，求椭圆的方程．
设椭圆的标准方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），由F1（0，
50
）得a2-b2=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．
设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系得x1+x2=
12b2
a2+9b2
，
又AB的中点的横坐标为
1
2
，∴
x1+x2
2
=
6b2
a2+9b2
=
1
2
，
∴a2=3b2，与方程a2-b2=50联立可解出a2=75，b2=25．
故椭圆的方程为
y2
75
+
x2
25
=1．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（-2
3
，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2：
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|
MP
|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
已知椭圆的中心在原点，一个焦点F1（0，-2
2
），且离心率e满足：
2
3
，e，
4
3
成等比数列．
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-
1
2
平分．若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(0，
2
)，离心率为e=
2
2
，点P为第一象限内横坐标为1的椭圆C上的点，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆C于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PAB面积的最大值．
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
7
，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-
2
3
，则此双曲线的方程是（　　）

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