Question

对a、b∈R，记max(a，b)=

a(a≥b) b(a＜b)

，函数f（x）=max（|x-1|，|x+2|）（x∈R）的最小值为

3

2

．

Answer 1

分析：根据两个式子比较大小和绝对值的意义，将f（x）化简成分段函数的形式，可得f（x）在区间（-∞，-

1

2

]上是减函数；在区间（-

1

2

，+∞）上是增函数，由此即可求得函数f（x）的最小值．

解答：解：∵当x＜-

1

2

时，|x-1|＞|x+2|；当x=-

1

2

时，|x-1|=|x+2|；当x＞-

1

2

时，|x-1|＜|x+2|
∴f（x）=max（|x-1|，|x+2|）=

|x-1|    x＜- 1 2 3 2           x=- 1 2 |x+2|     x＞- 1 2

化简，得f（x）=

1-x     x≤- 1 2 x+2      x＞- 1 2

由此可得f（x）在区间（-∞，-

1

2

]上是减函数；在区间（-

1

2

，+∞）上是增函数
∴函数f（x）的最小值为f（-

1

2

）=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题给出特殊定义，求函数f（x）的最小值，着重考查了实数比较大小、绝对值的意义和分段函数的处理等知识，属于基础题．