题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ 是非零向量且满足（ $数学公式$ +2 $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ，（ $数学公式$ +2 $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ，则 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角是________．

120°
分析：由已知（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，建立关于两个向量的方程组，从中解出两向量夹角余弦的表示式，即可求值．
解答：∵（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0
即 $\text{[math]}$ ²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ ²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0
两式做差得 $\text{[math]}$ ²- $\text{[math]}$ ²=0，即两向量的模相等
则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角余弦值为 $\text{[math]}$ ，
两者的夹角为120⁰
故应填120⁰．
点评：考查向量垂直的充要条件，向量的运算．是训练数量积的定义一个基础题．