Question

已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求P的值。

Answer 1

（I）证法一：

∴

即

整理得

∴......................12分

设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则

即

展开上式并将①代入得

故线段是圆的直径。

证法二：

∴

即，

整理得

∴①……3分

若点在以线段为直径的圆上，则

去分母得

点满足上方程，展开并将①代入得

所以线段是圆的直径.

证法三：

∴

即，

整理得

∴

以为直径的圆的方程是

展开，并将①代入得

所以线段是圆的直径.

（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则

，∴

又

∴

∴

∴

∴

所以圆心的轨迹方程为：

设圆心到直线的距离为，则

当时，有最小值，由题设得

∴……14分

解法二：设圆的圆心为，则



∴

又

∴

∵ ∴…………9分

所以圆心得轨迹方程为…………11分

设直线与的距离为,则

因为与无公共点.

所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为

∴

将②代入③，有

…………14分

解法三：设圆的圆心为，则

若圆心到直线的距离为，那么

∴

又

∴

∵ ∴

∴

当时，有最小值时，由题设得

∴