Question

已知函数f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和递减区间；
（2）若f（

α

2

-

π

8

）=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式和正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用平方关系、倍角公式即可得出．

解答：解（1）∵f(x)=2(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)=2(cos

π

4

sin2x+sin

π

4

cos2x)=2sin(2x+

π

4

)．
最小正周期为T=

2π

2

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）
∴函数f（x）的递减区间是[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（ k∈Z）．
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+

π

4

)
∴f(

α

2

-

π

8

)=2sinα=

3

2

，即sinα=

3

4

．
又α是第二象限的角，∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 3 4 )2

=-

13

4

．
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×(-

13

4

)=-

39

8

．

点评：熟练掌握两角和的正弦公式和正弦函数的单调性、平方关系、倍角公式等是解题的关键．