Question

2．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=4x-x²．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，b，使得f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]？若存在，求出所有a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由定义知，f（-x）=-f（x）对任意实数x恒成立，结合当x＞0时，f（x）=4x-x²，求函数y=f（x）的解析式；
（2）假设存在满足条件的a，b，则a，b必为方程f（x）=2x的解，即可求出结果．

解答 解：（1）由定义知，f（-x）=-f（x）对任意实数x恒成立．
令x=0，得f（0）=0…（1分）
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-[4（-x）-（-x）²]=4x+x²…（4分）
综上可得，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x≥0}\\{4x+{x^2}，x＜0}\end{array}}\right.$…（6分）
（2）假设存在满足条件的a，b，则a，b必为方程f（x）=2x的解，
由f（x）=2x得，x=-2，0，2，…（9分）
经检验，所求a=-2，b=0，或a=0，b=2，或a=-2，b=2…（12分）

点评 本题考查求函数y=f（x）的解析式、函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．