Question

已知函数f（x）=2sinωx（cosωx-sinωx）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，b=，f（B）=1，求a、c的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将f（x）=2sinωx（cosωx-sinωx）化简为f（x）=2sin（2ωx+）-1，由其最小正周期为π可求ω的值；
（Ⅱ）由f（B）=1，可求得B=，再结合已知条件利用余弦定理，通过解关于a，c的方程组即可求得a，c的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinωx（cosωx-sinωx）
=sin2ωx+cos2x-1
=2sin（2ωx+）-1，
∵ω＞0，f（x）的最小正周期为π，
∴T==π，
∴ω=1；
∴f（x）=2sin（2x+）-1，
（Ⅱ）∵在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=，f（B）=1，
∴2sin（2B+）-1=1，
∴sin（2B+）=1．又0＜B＜π，
∴＜2B+＜，
∴2B+=，解得B=．
∵S_△ABC=acsinB=ac×=，
∴ac=3．①
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²-2ac×=，
∴a²+c²=12．②
∴解得：a=，c=3或a=3，c=．
点评：本题考查解三角形，着重考查三角函数中的恒等变换应用及正弦定理与余弦定理，体现化归思想与方程思想的作用，属于中档题．