Question

已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈N)，满足f（2）＜f（3）．
（1）求k的值并求出相应的f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在m，使得函数g（x）=f（x）-2x+m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（2）＜f（3）可得函数f（x）的单调性，从而得到幂函数的指数符号，再根据k∈N，可求出k的值；
（2）根据二次函数的图象及其性质求出x∈[0，2]时的值域，然后根据值域可求出是否存在m使得成立．

解答：解：（1）由f（2）＜f（3），则-k²+k+2＞0，解得-1＜k＜2，
又k∈N，则k=0，1，
当k=0，1时，f（x）=x²，
（2）由g（x）=f（x）-2x+m=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
当x∈[0，2]时，作出函数图象得：f（x）∈[m-1，m]，
由已知值域为[2，3]，则m=3，
故存在这样的m值，且m=3．

点评：本题主要考查了幂函数的单调性，以及二次函数的值域，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．