Question

设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点，P为双曲线上的一点，且

PF1

•

PF2

=-

2c2

3

，则此双曲线的离心率的取值范围是______．

Answer 1

设P（m，n），得

PF1

=(-c-m，-n)，

PF2

=(c-m，-n)
∴

PF1

•

PF2

=（-c-m）（c-m）+n²=-

2

3

c²，即m²+n²=

1

3

c²，…（1）
∵P（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，解得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式得

c2

a2

m²-b²=

1

3

c²，整理得：

c2

a2

m²=

4

3

c²-a²，…（2）
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得

4

3

c²-a²≥

c2

a2

•a²=c²
化简，得

1

3

c2≥a²，所以c≥

3

a，
因此双曲线的离心率e=

c

a

≥

3

，得e∈[

3

，+∞）
故答案为：[

3

，+∞）