Question

(本小题满分12分)

如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．(1) 求双曲线的方程；

(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

解析:

：(1) 设双曲线的方程为，

则．

由，得，即．

∴    （3分）

解之得，∴．∴双曲线的方程为．（5分）

(2) 设在轴上存在定点，使．

设直线的方程为，．

由，得．

即    ①    （6分）

∵，，

∴．

即．   ②           （8分）

把①代入②，得     ③           （9分）

把代入并整理得

其中且，即且．  ．（10分）代入③，得  ，化简得 ．当时，上式恒成立．

因此，在轴上存在定点，使．（12分）