Question

16．在直角三角形ABC中，AB=AC=3，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．设BF与CE交点为P，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$的值为3．

Answer 1

分析 由条件可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．设$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，根据$\overrightarrow{FP}$∥$\overrightarrow{FB}$，求得y=$\frac{2}{3}$（1-x） ①．由$\overrightarrow{CP}$∥$\overrightarrow{CE}$，求得y=1-3x ②．由①②求得x、y的值，可得$\overrightarrow{AP}$═$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$．再利用两个向量数量积的运算法则求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$ 的值．

解答 解：直角三角形ABC中，∵AB=AC=3，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，BF与CE交点为P，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．
设$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{FP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
再根据$\overrightarrow{FP}$∥$\overrightarrow{FB}$，可得$\frac{x}{1}$=$\frac{y-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}}$，求得y=$\frac{2}{3}$（1-x） ①．
同理，由$\overrightarrow{CP}$∥$\overrightarrow{CE}$，求得y=1-3x ②．
由①②求得 x=$\frac{1}{7}$，y=$\frac{4}{7}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$，
 $\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AC}$ ）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$ ）=-$\frac{1}{21}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{8}{21}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{21}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ 
=-$\frac{1}{21}$×9+$\frac{8}{21}$×9-0=3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线的性质，两个向量数量积的运算，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．