Question

已知不等式++…+＞［log₂n］,其中n为大于2的整数,［log₂n］表示不超过log₂n的最大整数.设数列{a_n}的各项为正,且满足a₁=b(b＞0),a_n≤,n=2,3,4,….

(1)证明a_n＜,n=2,3,4,…;

(2)猜测数列{a_n}是否有极限,如果有,写出极限的值(不必证明);

(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时对任意b＞0,都有a_n＜.

Answer 1

(1)证法一:∵当n≥2时,0＜a_n≤,

    ∴≥=+,

    即-≥.

    于是有-≥,-≥,…,-≥,

    所有不等式两边相加可得

     -≥++…+.

    由已知不等式知,当n≥3时,

    有-＞［log₂n］.

    ∵a₁=b,∴＞+［log₂n］=.

    ∴a_n＜.

    证法二:设f(n)=++…+,首先利用数学归纳法证不等式a_n≤,n=3,4,5,….

    ①当n=3时,

    由a₃≤=≤=知不等式成立.

    ②假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,

    即a_k≤,

    则a_k+1≤=

    ≤

    =

    =

    =,

    即当n=k+1时,不等式也成立.

    由①②知,a_n≤,n=3,4,5,….

    又由已知不等式得

    a_n＜=,n=3,4,5,….

     (2)解:有极限,且a_n=0.

     (3)解:∵＜,

    令＜,

    则有log₂n≥［log₂n］＞10n＞2¹⁰=1 024,

    故取N=1 024,可使当n＞N时,都有a_n＜.