Question

【题目】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.

（1）求抛物线的方程椭圆的方程；

（2）若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】分析：（1）根据已知分别列方程组求标准方程中的待定系数即可. (2)先利用弦长公式计算出

，再求函数的值域，即得的取值范围.

详解： (1)设椭圆的标准方程为，

由题意得，解得

∴椭圆的方程为

∴点的坐标为，

∴，∴抛物线的方程是

(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，

由消去整理得（*）

∵直线与抛物线交于两点，

∴，

设，则①，②，

∵，

∴

∴，③

由①②③消去得.

∴

，即 ，将代入上式得，

，

∵在上单调递减，

∴，即，

∴ ，

∴，即的取值范围为.