Question

设f（x）=log

1

2

（10-3x）．
（1）求使f（x）≥1的x的取值范围；
（2）若对于区间[2，3]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得：log

1

2

（10-3x）≥log

1

2

1

2

，故有0＜10-3x≤

1

2

，由此求得x的取值范围．
（2）由题意可得（

1

2

）^x+log₂（10-3x）+m＜0，设g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m，则g（x）＜0在[2，3]上恒成立．根据g（x）在[2，3]是减函数，
求得g（x）的最大值，即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）由已知得：log

1

2

（10-3x）≥log

1

2

1

2

，∴0＜10-3x≤

1

2

，∴

19

6

≤x＜

10

3

，∴x的取值范围是[

19

6

，

10

3

）．…（8分）
（2）∵f（x）＞(

1

2

)x+m，∴（

1

2

）^x-log

1

2

（10-3x）+m＜0，∴（

1

2

）^x+log₂（10-3x）+m＜0，
设g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m，则g（x）＜0在[2，3]上恒成立
∵g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m在[2，3]是减函数，…（10分）
∴g(x)max=g(2)=

9

4

+m，…（12分）
∴

9

4

+m＜0，∴m＜-

9

4

，即实数m的取值范围为（-∞，-

9

4

）．…（13分）

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数的恒成立问题，属于中档题．