Question

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λFB(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

(1)证明为定值；

(2)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由， 　　即得(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)， 　　∴ 　　将①式两边平方并把y1＝， 　　y2＝代入得y1＝λ2y2　　③ 　　解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有 　　x1x2＝＝－4λy2＝－4． 　　抛物线方程为y＝． 　　求导得＝． 　　所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 　　y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 　　即y＝x1x－，y＝x2x－． 　　解出两条切线的交点M的坐标为()＝(，－1)． 　　所以＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1) 　　＝＝0 　　所以为定值，其值为0． 　　　(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． 　　|FM|＝ 　　＝ 　　因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 　　|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋2 　　于是S＝|AB||FM|＝，由，知S≥4， 　　且当λ＝1时，S取得最小值4．