Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于

1

3

，则动点P的轨迹方程为（　　）

A．x²-3y²=-2

B．x²-3y²=-2（x≠±1）

C．x²-3y²=2

D．x²-3y²=2（x≠±1）

Answer 1

分析：先利用对称性求出点B（1，-1），利用直线AP与BP的斜率之积等于

1

3

，列出方程，整理即可．

解答：解：∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴B（1，-1），设P（x，y），
∵直线AP与BP的斜率之积等于

1

3

，
∴

y-1

x-(-1)

?

y-(-1)

x-1

=

1

3

，
即

y-1

x+1

?

y+1

x-1

=

y2-1

x2-1

=

1

3

，
整理得x²-3y²=-2，
∵直线AP与BP的斜率存在，∴x≠±1，
故动点P的轨迹方程为x²-3y²=-2（x≠±1）．
故选：B．

点评：本题主要考查曲线和方程的关系，利用直接法建立条件关系是解决本题的关键，注意直线斜率存在的条件．