Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式与定义域；
（2）将函数f（x）图象向左平移

1

2

个单位，再向下平移log₃2个单位得到函数g（x）的图象，设F(x)=g(

x

9

)g(3x)，求F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相对应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象上A，B两点坐标，代入可得a，b的值，代入可得f（x）的解析式，进而根据对数函数真数部分大于0，可得函数的定义域；
（2）根据函数图象的平移变换法则，可求出函数g（x）的解析式，进而求出F(x)=g(

x

9

)g(3x)的解析式，利用换元法，将其转化为二次型函数，进而根据二次函数的图象和性质，可得F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相对应的x的值．

解答：解：（1）由图象中A、B两点坐标得

2a+b=3 5a+b=9

，解得

a=2 b=-1

．
故f（x）=log₃（2x-1），定义域为（

1

2

，+∞）．
（2）由题可得g（x）=log3[2(x+

1

2

)-1]-log32=log₃x，∴F(x)=log3(

x

9

)•log3(3x)，
∴F（x）=（log₃x-2）（log₃x+1）=lo

g

2 3

x-log3x-2，
设t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，则-2≤t≤2，∴F（x）可转化为y=t²-t-2（-2≤t≤2），
∴y=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），其对称轴为t=

1

2

，
∴当t=

1

2

时，ymin=-

9

4

，此时x=

3

；当t=-2时，y_max=4，此时x=

1

9

．
综上知，当x=

1

9

时，最大值为F(

1

9

)=4，当x=

3

时，最小值为F(

3

)=-

9

4

．

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，熟练掌握对数的运算性质及对数函数的图象和性质是解答本题的关键．