Question

（本小题满分12分）已知双曲线（a>0，b>0）的上、下顶点分别为A、B，一

个焦点为F（0，c）（c>0），两准线间的距离为1，|AF|、|AB|、|BF|成等差数列．

   （1）求双曲线的方程；

   （2）设过点F作直线l交双曲线上支于M、N两点，如果S_△MON=tan∠MON，求△MBN的面积．

Answer 1

解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|= c+a，

∴ 4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．

∵ ，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．∴ 双曲线方程为．                                        ……………4分

（II）∵ S_△MON= ，

∴

整理得|OM|·|ON|·cosMON=-7，即．    ……………………6分

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是，，

∴ x₁x₂+y₁y₂=-7．

设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．

∴ 消去y，整理得（3k²-1）x²+12kx+9=0． ………………………8分

∵ MN与双曲线交于上支，

∴ Δ=（12k）²-4×9×（）=36k²+36>0， x₁x₂，，

∴ ．                                         ………………………9分

∴ x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=-7，整理得x₁x₂+k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-7，

代入得：，

解得，满足条件．                                     ……10分

S_△MBN==

=

==．             ……………………………………………12分