Question

已知函数f(x)=1-

a

x

，g(x)=

lnx

x

，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）证明：g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求导函数，利用导数的几何意义，结合函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直，可求a的值；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，即

lnx

x

≤1-

1

x

(x＞0)恒成立，只要证明lnx-x+1≤0（x＞0）恒成立，构造函数，研究函数的单调性即可证明．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=

a

x2

∴f′（1）=a
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1
∴a=1；
（II）由（I）可得f(x)=1-

1

x

，
证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，即

lnx

x

≤1-

1

x

(x＞0)恒成立
∴只要证明lnx-x+1≤0（x＞0）恒成立
构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0）
∴h′(x)=

1

x

-1
令h′(x)=

1

x

-1＞0，结合x＞0，可得0＜x＜1，令h′(x)=

1

x

-1＜0，结合x＞0，可得x＞1，
∴x=1处有极大值h（1）=0，且为最大值
∴lnx-x+1≤0在x∈（0，+∞）内恒成立
∴g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查利用导数证明不等式，综合性强．