Question

在△ABC中，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则B的取值范围是（　　）

• A、（0，

  π

  3

  ]∪（

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]
• B、（0，

  π

  6

  ]∪（

  π

  2

  ，

  5π

  6

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ）
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：由已知先求出2tanB=tanA+tanC＞0，tanAtanC=3．再由（2tanB）²=（tanA+tanC）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，求出tanB≥

3

，从而得到B的取值范围．

解答：解：由已知得2tanB=tanA+tanC＞0（显然tanB≠0，若tanB＜0，因为tanA＞0且tanC＞0，tanA+tanC＞0，这与tanB＜0矛盾），
又tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

2tanB

1-tanAtanC

≠0，所以tanAtanC=3．
又（2tanB）²=（tanA+tanC）²=tan²A+tan²C+2tanAtanC≥4tanAtanC=12，
因此tan²B≥3，又tanB＞0，所以tanB≥

3

，

π

3

≤B＜

π

2

，即B的取值范围是[

π

3

，

π

2

），
故选D．

点评：本题借助等差数列的性质考查三解函数知识，体现了出题者的智慧，解题时要注意三角函数公式的灵活运用．