Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，

   （Ⅰ）证明：AC//平面PMD；

   （Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

   （Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM。

∵EO//PB，EO=PB，MA//PB，MA=PB，

∴EO//MA，且EO=MA

∴四边形MAOE是平行四边形，

∴ME//AC  。

又∵AC平面PMD，ME平面PMD，

∴AC//平面PMD 。

（Ⅱ）如图1，PB⊥平面ABCD，

CD平面ABCD， ∴CD⊥PB。

又∵CD⊥BC， ∴CD⊥平面PBC。

∵CD平面PCD，  ∴平面PBC⊥平面PCD。

过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF，

则DF为BD在平面PCD上的射影。

∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角。

不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，， ∴∠BDF=

∴直线BD与平面PCD所成的角是  

（Ⅲ）解：如图3，分别延长PM，BA，设PM∩BA=G，连DG，

则平面PMD∩平面=ABCD=DG

过A作AN⊥DG于N，连MN。 

∵PB⊥平面ABCD，  ∴MN⊥DG

∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD所成

的二面角的平面角（锐角）

在Rt△MAN中，，

∴∠MNA=arctan

∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）

大小是arctan