题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A-CE-P余弦值．
分析：（I）以线面平行为条件，根据线面平行的性质得到线线平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比值．
（II）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．
（II）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=
，
∴∠DCA=∠BAC=
．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=
AC=
（
AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
=
=2
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，
=
=2，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，
，）．
设
=(x，y，1)，为平面EAC的一个法向量，
则
⊥
，
⊥
，
∴
，解得x=
，y=-
，
∴n
=（
，-
，1）．
设
=（
，
，1）为平面PBC的一个法向量，
则
⊥
，
⊥
，
又
=（a，0，0），
=（0，-a，a），
∴
，解得x′=0，y′=1，
∴
=（0，1，1）．∴cos
，
＞
=
∴二面角A-CE-P的余弦值为
．
解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=| π |
| 4 |
∴∠DCA=∠BAC=
| π |
| 4 |
∴DC=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
连接BD，交AC于点M，则
| DM |
| MB |
| DC |
| AB |
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，
| PE |
| EB |
| DM |
| MB |
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，
| 2a |
| 3 |
设
| n1 |
则
| n1 |
| AC |
| n1 |
| AE |
∴
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴n
| • |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设
| n2 |
| • |
| x |
| • |
| y |
则
| n2 |
| BC |
| n2 |
| BP |
又
| BC |
| BP |
∴
|
∴
| n2 |
| ＜n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
∴二面角A-CE-P的余弦值为
| ||
| 6 |
点评：本题考查空间向量求二面角以及直线与平面的位置关系的证明，本题的第一小题主要应用线面平行为条件，这种逆向思维的题目出现的比较多，本题第二小题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．降低了难度．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=