Question

        在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.

   （I）求轨迹C的方程；

   （II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.

Answer 1

（I）（II）且直线经过定点点

解析:

（1）的距离之和是4，

的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，

其方程为 …………3分

  （2）将，代入曲线C的方程，

整理得 

                   …………5分

因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以①

设，则

  ②         …………7分

且③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），

所以

由

将②、③代入上式，整理得       …………10分

所以

即经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线的方程为

显然，此时直线经过定点（-2，0）点.

即直线经过点A，与题意不符.

当时，直线的方程为

显然，此时直线经过定点点，且不过点A.

综上，k与b的关系是：

且直线经过定点点                 …………13分