Question

已知函数f（x）=（x-k）e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）设g（x）=f（x）+f'（x），当

3

2

≤k≤

5

2

时，对任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导，令导数等于零，解方程，再根据f′（x），f（x）随x的变化情况，即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1），对k-1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）要使当

3

2

≤k≤

5

2

时，对任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，则有g（x）_min≥λ成立，利用导数求出g（x）_min，即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x），f（x）随x的变化情况如下：

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）；
（2）当k-1≤1，即k≤2时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（1）=e-ek；
当1＜k-1＜2，即2＜k＜3时，由（1）知，f（x）在区间[1，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，2]上单调递增，
∴f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（k-1）=-e^k-1；
当k-1≥2，即k≥3时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=（2-k）e²；
综上所述，当k≤2时，f（x）的最小值为（1-k）e；
当k≥3时，f（x）的最小值为（2-k）e²；
当2＜k＜3时，f（x）的最小值为-e^k-1；（8分）
∴f（x）_min=

e-ek k≤2 -ek-1 2＜k＜3 (2-k)e2 k≥3

．
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（2x-2k+1）e^x
∴g′（x）=（2x-2k+3）e^x
当

3

2

≤k≤

5

2

时，对任意x∈[0，

2k-3

2

），g′（x）＜0，x∈（

2k-3

2

，1]，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，

2k-3

2

]上单调减，在（

2k-3

2

，1]上单调增，
∴g（x）_min=g（

2k-3

2

）=-2e

2k-3

2

要使当

3

2

≤k≤

5

2

时，对任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，则有g（x）_min≥λ成立，
∴实数λ的取值范围为λ≤-2e

2k-3

2

．（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，属于中档题．