题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，
AF
=2
FB
．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=
15
4
，求椭圆C的方程．
分析：（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由
AF
=2
FB
，求出离心率．
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．
解答：精英家教网解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．
（1）直线l的方程为y=
3
(x+c)，其中c=
a2-b2
．
联立
y=
3
(x+c)
x2
a2
+
y2
b2
=1
 得 (3a2+b2)y2-2
3
b2cy-3b4=0．
解得y1=
3
b2(c+2a)
3a2+b2
，y2=
3
b2(c-2a)
3a2+b2
．
因为
AF
=2
FB
，所以-y1=2y2．即-
3
b2(c+2a)
3a2+b2
=2 
3
b2(c-2a)
3a2+b2
，
解得离心率e=
c
a
=
2
3
．（6分）
（2）因为|AB|=
1+
1
k2
•|y2-y1|，∴
15
4
=
1+
1
3
•
4
3
ab2
3a2+b2
．
由
c
a
=
2
3
 得b=
5
3
a，所以
5
4
a=
15
4
，解得a=3，b=
5
．
故椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
5
=1．（12分）
点评：本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是
解题的难点，属于中档题．
练习册系列答案
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设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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