Question

已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设l与圆C交于A、B两点,若|AB|=,求l的倾斜角;

(3)求弦AB的中点M的轨迹方程;

(4)若定点P(1,1)分弦AB为=,求此时直线l的方程.

Answer 1

(1)证明：由已知l:y-1=m(x-1),

∴直线l恒过定点P(1,1).

∵1²+(1-1)²=1＜5,

∴P在圆C内.则直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解：将直线l与圆C的方程联立,消去y得(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0.               (*)

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁、x₂为方程(*)的两实根,

∵|AB|=|x₁-x₂|,

∴=·.∴m²=3,m=±.

∴l的倾斜角为α=或.

(3)解：设M的坐标为(x,y),连结CM、CP,

∵C(0,1),P(1,1),|CM|²+|PM|²=|CP|²,∴x²+(y-1)²+(x-1)²+(y-1)²=1.

    整理得轨迹方程为x²+y²-x-2y+1=0(x≠1).

(4)解：∵=,

∴1=.∴x₁=-(x₁+x₂).

    又∵x₁+x₂=,∴x₁=,x₁=.

    解方程(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0,得x₁=,

∴

=,

    解得m=±1.

∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.