Question

（本小题满分13分）

已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1.

（Ⅰ）求的值及的单调减区间；

（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：.

Answer 1

解：（Ⅰ）　　　　　　　 ………………………………2分

，∴ ，即，∴ ……3分

　　　　 ∴ ，又，∴ ，∴

综上可知 　　　　　　　　　　　　 ……………………………4分

，定义域为＞0，　

由＜0 得 0＜＜，∴的单调减区间为……………6分

（Ⅱ）先证

即证

即证：　　 ………………………7分

令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即证……8分

令 则

∴

…………9分

① 当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0

在（0，1）上递增，∴＜＝0，　 ……………………10分

② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0

在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，　 …………………11分

③ 当＝，即＝1时，＝＝0

综合①②③知即

即　　　 …………12分

又

∴　

综上可得　　 ……………13分