Question

（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁，B₂
（1）若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

F1P

⊥

F1Q

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由△F₁B₁B₂为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a²=b²+c²可求a²，b²，则椭圆C的方程可求；
（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F₂的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把

F1P

⊥

F1Q

转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
根据题意知

a=2b a2-b2=1

，解得a2=

4

3

，b2=

1

3

故椭圆C的方程为

3x2

4

+3y2=1．
（2）由2b=2，得b=1，所以a²=b²+c²=2，得椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

，

F1P

=(x1+1，y1)，

F1Q

=(x2+1，y2)
因为

F1P

⊥

F1Q

，所以

F1P

•

F1Q

=0，即
(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(k2-1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)

2(k2-1)

2k2+1

-(k2-1)

4k2

2k2+1

+k2+1
=

7k2-1

2k2+1

=0，解得k2=

1

7

，即k=±

7

7

．
故直线l的方程为x+

7

y-1=0或x-

7

y-1=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．