Question

正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线y=x²上,另两个顶点C、D在直线y=x-4上,求正方形的面积.

Answer 1

思路分析:正方形的面积=|AB|².因此,要用正方形的性质,把AB的直线方程求出来.进而求出弦长,问题得解.

解法一:设AB:y=x+b,代入抛物线方程得x²-x-b=0,

∴x₁+x₂=1,x₁x₂=-b.

|AB|=,而|AD|=,

∴,解得b=6或2.

∴正方形面积=|AB|²=2+8b=50或18.

解法二:设正方形ABCD的边长为d,

则直线AB是把CD向上平移d而得,

设方程为y=x-4+d.

由

消去y得x²-x+4-d=0.

由韦达定理得x₁+x₂=1,x₁x₂=4-d.

∴|AB|=|x₁-x₂|=·=·.

又∵|AB|=d,∴d²=2(4d-15).

解得d=3或d=5.

∴正方形ABCD的面积是18或50.