题目内容

抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点是离心率为 $数学公式$ 的双曲线：32y²-mx²=1的一个焦点，正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，则该正方形的面积是

A.
18或25
B.
9或25
C.
18或50
D.
9或50

C
分析：离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线：32y²-mx²=1，可解得m=32，此是一等轴双曲线，求得它的焦点，再由抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点是离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线：32y²-mx²=1的一个焦点，求得抛物线的标准方程，根据正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，求正方形的面积即可．
解答：由题意双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，故此双曲线是一个等轴双曲线，所以m=32
可得c²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得c= $\text{[math]}$
由于抛物线与双曲线的焦点相同，故p= $\text{[math]}$ ，抛物线E：x²=y
令直线AB的方程是y=x-b，代入抛物线E：x²=y得x²=x-b，
故有x_A+x_B=1，x_A×x_B=-b
由此得弦长AB为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又直线AB与直线CD两平行线的距离是 $\text{[math]}$
由题意知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得b=2，或b=6
当b=2时，正方形的边长为 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，其面积是18
当b=6时，正方形的边长为 $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，其面积是50
故选C．
点评：本题考查抛物线的应用，解题的关键是根据题设条件解出抛物线的方程，然后设出直线AB的方程利用弦长公式用参数表示出弦长AB，再由两平行线的间的距离公式求出两平行线间的距离，由正方形的边长相等建立关于参数的方程求出参数，本题运算量大，综合性强，且都是符号运算，故解题时要严谨认真，避免出错．