Question

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若=0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

Answer 1

解：（1）′由=0，得a=b． …（1分）
故f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f′（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=，x₂=1．…（2分）列表：

x	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，）及（1，+∞）．…（4分）
（2）f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．
①当时，则f′（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f′（1）≤f′（x）≤f′（0），或f′（0）≤f′（x）≤f′（1），且f′（0）+f′（1）=a＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（8分）
②当，即-a＜b＜2a，则≤f′（x）≤max{f′（0），f′（1）}．
（i） 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．
所以 f′（1）==≥＞0．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}． …（12分）
（ii） 当＜b＜2a时，则＜0，即a²+b²-＜0．
所以=＞＞0，即f′（0）＞．
所以|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤max{f′（0），f′（1）}．…（16分）
分析：（1）由=0，可得a=b，所以f（x）=ax³-2ax²+ax+c．由f'（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=，x₂=1，利用导数大于0，可得函数f（x）的单调增区间；
（2）先求导函数f'（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．由于函数的对称轴为，
0≤x≤1，故需要进行分类讨论：①当时，则f'（x）在[0，1]上是单调函数；②当，即-a＜b＜2a，则≤f'（x）≤max{f'（0），f'（1）}，从而可证得结论．
点评：本题以函数为载体，主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于零；当函数为减函数时，导数小于零，考查二次函数的最值，解题的关键是分类讨论．