题目内容
已知点P（6，8）是椭圆
+
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若
•
=0，试求：
（1）椭圆的方程．
（2）求sin∠PF1F2的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PF1 |
| PF2 |
（1）椭圆的方程．
（2）求sin∠PF1F2的值．
分析：（1）利用数量积
•
=0，可得（-c-6）（c-6）+64=0，解得c．进而得到F1，F2，利用两点间的距离公式可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2-c2即可得出b2．
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，利用勾股定理可得|PF1|，再利用sin∠PF1F2=
即可得出．
| PF1 |
| PF2 |
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，利用勾股定理可得|PF1|，再利用sin∠PF1F2=
| |PM| |
| |PF1| |
解答：解：（1）∵
•
=0，
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F1（-10，0），F2（10，0），
∴2a=|PF1|+|PF2|=
+
=12
，
∴a=6
，b2=80．
∴椭圆方程为
+
=1．
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，
∴|PF1|=
=
=8
，
∴sin∠PF1F2=
=
=
．
| PF1 |
| PF2 |
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F1（-10，0），F2（10，0），
∴2a=|PF1|+|PF2|=
| (6+10)2+82 |
| (6-10)2+82 |
| 5 |
∴a=6
| 5 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 180 |
| y2 |
| 80 |
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F1M|=10+6=16，
∴|PF1|=
| |PM|2+|F1M|2 |
| 162+82 |
| 5 |
∴sin∠PF1F2=
| |PM| |
| |PF1| |
| 8 | ||
8
|
| ||
| 5 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、椭圆的定义域标准方程、勾股定理及其直角三角形的边角关系等基础知识与基本方法，属于基础题．
练习册系列答案
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已知点P在椭圆
+
=1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，△F1PF2是直角三角形，则这样的点P有（ ）
| x2 |
| 40 |
| y2 |
| 20 |
| A、2个 | B、4个 | C、6个 | D、8个 |
已知点P（-4，8，6），则点P关于平面xoy对称的点的坐标是（ ）
| A、（-4，-8，6） | B、（-4，8，-6） | C、（4，-8，-6） | D、（4，-8，6） |