题目内容

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则 $数学公式$ 的最小值为________．

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分析：先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把 $\text{[math]}$ 整理成（4a+b）（ $\text{[math]}$ ）的形式展开后利用基本不等式求得答案．
解答：整理圆的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴ $\text{[math]}$ =（4a+b）（ $\text{[math]}$ ）=8+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥8+2 $\text{[math]}$ =16（当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时等号成立．）
故答案为：16
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，直线与圆的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．