Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

．
（Ⅰ）S_n为{a_n}的前n项和，证明：S_n=

1-an

2

（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）根据数列{a_n}是等比数列，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

，求出通项公式a_n和前n项和S_n，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列{a_n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b_n}的通项公式．

解答：证明：（I）∵数列{a_n}为等比数列，a₁=

1

3

，q=

1

3

∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

，
S_n=

1 3 (1-  1 3n )

1- 1 3

=

1- 1 3n

2

又∵

1-an

2

=

1- 1 3n

2

=S_n
∴S_n=

1-an

2

（II）∵a_n=

1

3n

∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-log₃3+（-2log₃3）+…-nlog₃3
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=-

n(n+1)

2

点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．