Question

求证：lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2≥1+

2

3

(1-x)3．

Answer 1

分析：设 f(x)=lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2-[1+

2

3

(1-x)3](x＞0)，求出它的导数f'（x），根据导数的符号判断函数的单调性，进而求得函数的最小值，从而证得不等式成立．

解答：证明：设 f(x)=lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2-[1+

2

3

(1-x)3](x＞0)，
则：f′(x)=

1

x

-

1

x2

-(x-1)+2(1-x)2=(x-1)3•

2x+1

x2

，
令f'（x）=0解得：x=1或x=-

1

2

(舍)，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0，也是唯一极小值，
∴f（x）的最小值为f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+

1

x

-

1

2

(x-1)2≥1+

2

3

(1-x)3．

点评：本题考查利用函数的最小值证明不等式的方法，函数的导数与函数的单调性的关系，求出f（x）的最小值是解题的关键．