Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点F₁的直线l交椭圆C于P、Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）在x轴上是否存在一点M，使得恒为常数？若存在，求出M点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据题意设出椭圆的方程，根据长轴2a的长和离心率e=，列出方程组求出a与c的值，然后根据椭圆的性质求出b的值，把a与b的值代入设出的椭圆方程即可确定出椭圆C的方程；
（II）根据（I）求出的c的值写出椭圆左焦点F₁的坐标，假设在x轴上存在一点M（t，0），使得恒为常数，分两种情况考虑：①当直线l与x轴不垂直时，设出过左焦点F₁的直线方程，以及P和Q两点的坐标，把所设的直线方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，然后表示出，把其中的纵坐标代换为横坐标，化简后将求出的两根之和与两根之积代入得到一个关系式，由此关系式与k的取值无关，得到关于t的式子为0，即可求出此时t的值，从而此时这个常数；②当直线l与x轴垂直时，求出P与Q两点的坐标，且求出t及的值，与①中求出的常数相等，综上，在x轴上存在一点M，使得恒为常数．
解答：解：（I）设椭圆C的方程为．
由题意，得，解得，所以b²=2．（3分）
所求的椭圆方程为．（4分）
（II）由（I）知F₁（-1，0）．
假设在x轴上存在一点M（t，0），使得恒为常数．
①当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+1），P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
由得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．（6分）
所以，．（7分）
=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=
=．
因为是与k无关的常数，从而有，即．（10分）
此时．（11分）
②当直线l与x轴垂直时，此时点P、Q的坐标分别为，
当时，亦有．（13分）
综上，在x轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为．（14分）
点评：本题考查椭圆的应用，及平面向量的运算法则，考查了分类讨论的数学思想．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．