题目内容

在a＞0，b＞0的条件下，三个结论：
①
2ab
a+b
≤
a+b
2
，
②
a+b
2
≤
a2+b2
2
，
③
b2
a
+
a2
b
≥a+b，
其中正确的个数是（　　）
分析：用作差比较法证明①②③都正确，从而得到结论．
解答：解：在a＞0，b＞0的条件下，
由
a+b
2
-
2ab
a+b
=
(a+b)2- 4ab
2(a+b)
=
a2+b2- 2ab
2(a+b)
=
(a-b)2
2(a+b)
≥0，可得①正确．
由
a2+b2
2
-(
a+b
2
)2=
2a2+2b2-a2-b2-2ab
4
=
(a-b)2
4
≥0，可得
a2+b2
2
≥(
a+b
2
)2，
故有
a2+b2
2
≥
a+b
2
，故②正确．
 由
b2
a
+
a2
b
-(a+b)=
b2-a2
a
+
a2-b2
b
=（b-a）（
a+b
a
-
a+b
b
）=（b-a）（
b
a
-
a
b
），
当b＞a＞0时，（b-a）＞0，
b
a
＞
a
b
，（
b
a
-
a
b
）＞0，（b-a）（
b
a
-
a
b
）＞0．
当a＞b＞0时，（b-a）＜0，
b
a
＜
a
b
，（
b
a
-
a
b
）＜0，（b-a）（
b
a
-
a
b
）＞0．
当a=b 时，显然（b-a）（
b
a
-
a
b
）=0．
综上，（b-a）（
b
a
-
a
b
）≥0，故有
b2
a
+
a2
b
≥a+b，故③正确．
故选D．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，用比较法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，式子的变形是解题的关键，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•枣庄二模）已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的两个顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B，C两点，是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若△ABC的重心为G，当边BC的端点在椭圆E上运动时，求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范围．
（2013•湛江一模）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为-
3
，求双曲线的离心率．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设
MA
=λ1
AN
，
MB
=λ2
BN
，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．
若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．

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