Question

已知函数f（x）=

ax+a-3

ax+a

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求实数a的值；
（Ⅱ）当1≤x≤2时，请回答以下问题：
     （i）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
     （ii）若函数f（x）的最大值为

3

4

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，求出a值再代入检验即可；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，利用基本函数的单调性可得结论；
（ii）利用（i）的结论可得f（x）的最大值f（x）_max，令f(x)max=

3

4

可求得a值；

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=

ax+a-3

ax+a

是R上的奇函数，则f（0）=0，解得a=2，
把a=2代入，得f（x）=

2x-1

2x+2

，经检验满足f（x）=-f（x），
所以a=2；
（Ⅱ）（i）f（x）=

ax+a-3

ax+a

=1-

3

ax+a

，
当a＞1时，a^x+a是增函数，f（x）=1-

3

ax+a

是增函数；
当0＜a＜1时，a^x+a是减函数，f（x）=1-

3

ax+a

是减函数；
（ii）由（i）知，当a＞1时，f（x）_max=f（2）=1-

3

a2+a

=

3

4

，解得a=3；
当0＜a＜1时，f（x）_max=f（1）=1-

3

a+a

=

3

4

，解得a=6，不符合舍去．
综上所述：a=3．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数最值的求解，考查分类讨论思想．