Question

定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+1）=f（-x-1）与f（x+1）=f（x-1），且当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（　　）

• A、f(sin

  1

  2

  )＜f(cos

  1

  2

  )
• B、f(sin

  1

  3

  )＜f(cos

  1

  3

  )
• C、f(sin

  π

  3

  )＞f(cos

  π

  3

  )
• D、f（sin1）＜f（cos1）

Answer 1

分析：先通过给定条件确定函数为偶函数且是以2为周期的周期函数，然后确定函数f（x）在区间（0，1）的增减性进而得到答案．

解答：解：由于在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+1）=f（-x-1），说明f（x）是偶函数； f（x+1）=f（x-1），推出f（x）=f（x+2），说明f（x）是以2为周期的函数； x属于（3，4）时，f（x）=x-2，由于f（x）以2为周期，可得在（-1，0）上f（x）=x-2；
又由于f（x）是偶函数，所以在（0，1）上f（x）=-x-2，是减函数．（所给四个选项的定义域均为（0，1）） A和B中1/2和1/3的情况相同，大于0小于π/4，sin值小于cos值，因为f是减函数，所以都应该是前者大于后者． C和D中的π/3和1，大于π/4小于1，sin值大于cos值，因为f是减函数，所以应该是前者小于后者，于是，只有D是正确的．
故选D．

点评：本题主要考查函数的基本性质--周期性和对称性．