Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E为PC的中点，DE=

2

，PC=4，直线DE与平面PAC所成角为45°．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-PD-B的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）先证明OE⊥平面ABCD，再利用OE∥PA，可得PA⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PDE，平面PBD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：连接AC，BD，相交于O，连接OE
设点D到面PAC的距离为h，则直线DE与平面PAC所成角的正弦值为sin45°=

h

DE

=

h

2

，∴h=1
∵底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，AB=2，∴DO=1
∴DO⊥平面PAC
∴DO⊥OE，且OE=

DE2-DO2

=1
∵CO=

1

2

AC=

3

，∴OE²+OC²=CE²
∴OC⊥OE
∵OC∩DO=O，∴OE⊥平面ABCD
∵OE∥PA，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D（0，-1，0），P（

3

，0，2），E（0，0，1）
设平面PDE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • PD =0 n • PE =0

，∴

3 x+y+2z=0 3 x+z=0

∴取

n

=(

3

，3，-3)
设平面PBD的一个法向量为

m

=(x′，y′，z′)，则

m • PD =0 m • PB =0

，∴

3 x+y+2z=0 2y=0

∴取

m

=(2

3

，0，-3)
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

5

7

∴求二面角E-PD-B的平面角的大小为arccos

5

7

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生的计算能力，考查利用向量的方法，夹角空间角问题，求得平面的法向量是关键，