题目内容

14、对于数列{α_n}，定义．f₁（α_n）=α_n+1-a_n，并对所有整数K＞1定义f_k（α_n）=f₁（f_k（a_n））．若α_n=n³+n那么对所有n∈N^•，使得f_k（a_n）=0成立的k的最小值是

4

．

分析：因为是求使得f_k（a_n）=0成立的k的最小值，所以可以利用定义把前几项求出来即可找到满足条件的k值．

解答：解：∵f₁（a_n）=（n+1）³+（n+1）-n³-n=3n²+3n+2．
∵f₂（a_n）=f₁（f₁（a_n））=f₁（3n²+3n+2）=3（n+1）²+3（n+1）+2-3n²-3n-2=6n+6．
f₃（a_n）=f₁（f₂（a_n））=f₁（6n+6）=6（n+1）+6-6n-6=6．
f₄（a_n）=f₁（f₃（a_n））=f₁（6）=0．
∴当k≥4时，f_k（a_n）=0．
∴k的最小值为4．
故答案为4．

点评：本题主要考查数列与函数的综合以及数列递推公式的应用．这一类型题在作时，一定要严格按题中定义进行，考查审题和解题能力．

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